Celui qui tombe, une approche scientifique

dimanche 20 novembre 2016

Une approche scientifique du spectacle par Etienne Larochelle, Terminale SSI.

Diapo 1 :
On dit parfois que la science et l’art sont opposés, mais on va quand même tenter de faire une analyse physique et scientifique du spectacle « Celui qui tombe » de Yoann Bourgeois, étant donné qu’il y a clairement des phénomènes physiques mesurables et calculables à l’œuvre, notamment dans la phase où la plaque tourne sur elle-même à grande vitesse. On s’intéressera dans cette étude uniquement à la situation où la plaque tourne a sa vitesse de pointe.
Diapo 2  :
Premièrement, on va tenter d’exprimer en fonction de la position d’une personne sur la plaque, alors que celle-ci tourne, la vitesse à laquelle elle va et à quel point la personne subit une force centrifuge tentant de l’expulser de la plateforme. En effet, quelqu’un au centre tournera moins vite que quelqu’un à l’extérieur de la plaque
Diapo 3  :
Ensuite, on va exprimer à quel point, selon sa position sur la plaque tournante, la personne doit se pencher pour garder son équilibre . En effet, quelqu’un au centre tourne moins vite et donc subit une force centrifuge plus faible que quelqu’un se tenant à l’extérieur.
Diapo 4 :
Enfin, on va déterminer, selon sa position sur la plaque, ce que la personne voit dans son référentiel.
Diapo 5 :
Commençons par le plus important, c’est-à-dire ce que l’on sait sur la plaque ; j’ai trouvé sur internet, dans un dossier technique sur l’œuvre, que la plateforme était bel et bien un carré de 6 mètres de côté. Egalement, j’ai mesuré par chronométrage que la plateforme effectue un tour en 4,8 secondes, soit 0,21 tour/seconde.
Diapo 6 :
Dans cette diapo, je vais nommer les quatre coins ABCD, et le centre O. Commençons par déterminer la distance maximale du centre de la plateforme où l’on puisse être, qui nous sera utile pour déterminer plus tard les vitesses et accélérations centrifuges maximales atteignables sur la plaque. Bien sûr, les points les plus éloignés du centre sont les quatre coins ; ainsi, la distance maximale au centre est la demi diagonale, la distance entre le centre et un coin. En sachant que chaque côté mesure 6 mètres, on peut construire un triangle rectangle et y appliquer Pythagore pour trouver que la distance maximale au centre possible est 4,24 mètres.
Diapo 7  :
On arrive aux choses sérieuses, c’est-à-dire, déterminer la vitesse linéaire d’une personne en fonction de sa position sur la plaque. On a cette formule V®=w*R, avec V® la vitesse linéaire en m/s, w la vitesse angulaire en radians/s et R la distance au centre, en mètres. On doit convertir w depuis des tours/s pour des radians/s pour appliquer la formule, qui nous donne cette expression V®=1,32*R. On peut tracer un graphique, rien de très surprenant, on a une fonction linéaire, et on peut calculer la vitesse maximale atteignable sur la plaque, soit 6,60 m/s.
Diapo 8 :
Passons à l’accélération centrifuge, soit la force qui tend à éjecter la personne sur la plaque, et exprimons la en fonction de sa position sur la plateforme. On a cette formule Ac®=V®²/R, avec Ac® l’accélération centrifuge en m/s², V® la vitesse de la personne calculée à l’instant en m/s, et R la distance au centre de la plateforme, en mètres. On a déjà V®=1,32*R, donc on remplace, on simplifie pour arriver a Ac®=1,74*R. On peut tracer un autre graphique avec une autre fonction linéaire. Egalement, on peut calculer l’accélération maximale atteignable sur la plaque, soit 7,38 m/s² ou 0,75g, avec g l’intensité de la gravité terrestre.
Diapo 9  :
Sur la plaque à l’arrêt, une personne se tient droite, comme sur le sol, avec seule la force de la gravité agissant sur elle. Mais si la plaque tourne, se rajoute l’accélération centrifuge, et la somme de ces deux vecteurs de force devient la « gravité modifiée ». Ainsi, alors que la plaque tourne, la personne doit s’aligner avec le nouveau vecteur gravité pour rester droit.
Diapo 10 :
Intéressons nous plus en profondeur à ces vecteurs ; le premier vecteur est la gravité, dont la norme est donc g=9,81m/s². Le second vecteur est l’accélération centrifuge, dont la norme est exprimée en fonction de R, soit 1,74*R m/s². Ainsi, le vecteur « gravité modifiée » est aussi en fonction de R, et donc l’angle formé par les vecteurs « gravité modifiée » et gravité est aussi en fonction de R. Or, le vecteur g a pour direction la verticale ; Ainsi, l’angle a entre ces deux vecteurs est l’angle auquel la personne doit se pencher pour garder son équilibre, en fonction de sa position sur la plaque. Ce qu’il faudrait à présent serait de trouver l’expression de a en fonction de R.
Diapo 11 :
Si on prend ces vecteurs, on peut tracer un triangle rectangle avec des côtés égaux aux normes des deux vecteurs étudiés, et appliquer la formule de la tangente de la trigonométrie pour trouver, après avoir remplacé, que a®=arctan(1,74*R/9,81). On peut tracer un graphique, et également calculer que l’angle maximum auquel on doit se pencher, en étant au coin, est de 36,9°.
Diapo 12  :
On sait donc à quel point une personne doit se pencher en fonction de sa position sur la plaque ; vu de l’extérieur, la personne est penchée, mais dans le référentiel de la personne, c’est la plaque qui est penchée, et lui droit ! Et vu que plus, dans son référentiel, il s’éloigne du centre, plus la plaque est penchée, pour lui cette situation est totalement équivalente à si il était sur une colline bombée, car au centre, la pente est nulle (plat), et à l’extérieur, la pente est de plus en plus forte. Comme la pente est fonction de l’angle de « penchitude », on peut exprimer après un peu de maths la pente en fonction de R : Pente®=-0,15*R
Diapo 13 :
Maintenant, on voudrait trouver la forme de la colline, c’est-à-dire a quelle vitesse la pente augmente à mesure que R augmente. Or on sait qu’on a la formule qui nous donne la valeur de la pente de la tangente de la colline en R. La fonction Pente® est donc la dérivée de la fonction f ; on en déduit par l’intégration (que même les S n’ont pas encore vue, mais qui est soi l’inverse de la dérivée ; f’(x) est la dérivée de f(x), f(x) est l’intégrale de f’(x)), que f®=-0,075*R². Ainsi, la colline obéit à une fonction carrée multipliée par une constante négative, donc la colline a comme forme une parabole renversée.
Diapo 14  :
En somme, quand le danseur est sur la plaque en mouvement, si on lui bandait les yeux, et donc qu’on l’empêchait de voir qu’il était sur une plaque tournante, il lui serait théoriquement impossible de savoir si il était sur une plaque, où si il était en vérité sur une colline parabolique.
Diapo 15 :
J’en arrive à ma conclusion, dans la mesure où j’ai fini. Je voudrais juste ouvrir des idées de réflexion, de choses que l’on pourrait calculer, simuler ou mesurer si on en avait le temps et l’envie. Premièrement, on pourrait étudier à quel point notre poids augmente en fonction de notre position sur la plaque. On pourrait aussi étudier les effets de la force de Coriolis sur les danseurs sur la plaque, plus compliqué, j’avais pas le temps.
Merci de votre attention !


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